AB型の4人兄弟
4人兄弟だと言うと驚かれる、そして4人ともAB型だと言うともっと驚かれる、という話を聞いて、実際のところ、4人ともAB型の兄弟ってどれくらい珍しいんだろう、と考えてみました*1。
4人兄弟が珍しいのは事実なんですが*2、みんなAB型の4人兄弟、と言うのは、それの中でもむちゃくちゃ珍しいのかどうか、という疑問です。
日本人の血液型の分布は*3、
| O | 30.5% |
| A | 38.2% |
| B | 21.9% |
| AB | 9.4% |
A:O:B:ABがほぼ4:3:2:1だというのは、よく知られていると思います。これだけ見ると、AB型の人が4人揃うのは、10分の1の4乗、つまり1万分の1の確率でしか起こらないんじゃないか、となるんですが、それは赤の他人を4人選んだ場合。
血液型は遺伝で決まるものなので、兄弟の場合、同じ血液型になる確率は少し高くなります。男の4人兄弟で、4人とも身長が180cm超えてるんだよ、と言われても多分あまり驚かないのと比べると、不思議といえば不思議です。*4
まずは、ABO式血液型がどう遺伝するのか、おさらい。知ってるよ、って人はここをクリックして飛んでください。
ABO式血液型の遺伝
人はそれぞれ、ABO式血液型の遺伝子を2つ持っています。片方は母親から、片方は父親からもらった遺伝子。この血液型の遺伝子には、A、B、Oの3種類があって、持っている2つの組み合わせから、血液型がA、B、O、ABのどれになるかが決まります。
血液型とはそもそも、血液中にある抗原*5から血液を分類するものです。ABO式の場合、A遺伝子はA抗原を作り、B遺伝子はB抗原を作ります。O遺伝子は、「何もしない」遺伝子。A、B、O、AB型の区別は、
- A抗原はあるけどB抗原が無ければA型
- B抗原はあるけどA抗原が無ければB型
- A抗原もB抗原も無ければO型
- A抗原もB抗原もあればAB型
可能な遺伝子の組み合わせは、AA、AO、BB、BO、OO、ABの6種類。ここまでの話を理解していれば、それぞれどの血液型になるのか分かると思います。
AAがA型、BBがB型、OOがO型、ABがAB型というのは簡単。AOとBOの組み合わせの場合、AとBの遺伝子はそれぞれの抗原を作るので、A型とB型になります。Oの遺伝子は劣性遺伝するという事です。AやBと混ざると、負けてしまうんですね。
これで分かるのは、AB型の親からO型の子供が生まれたり、O型の親からAB型の子供が生まれたりはしない事。母親と子供の組み合わせがそうなってた場合は、検査ミスでしょうね。父親だった場合は…
遺伝子の分布
4人兄弟が全員AB型になる確率を求めるためには、両親の遺伝型*6の分布を考えないといけません。AAの人とAOの人では、子供の血液型の分布が変わってくるので、区別して考えないといけないんです。どうやって、AAとAOの割合を求めればいいのか説明しますね。
日本人全体で見ると、A、B、Oの遺伝子それぞれの数があります。個人的に分かりやすいのは、大量*7にカードがあって、A、B、Oと書いてあるイメージ。
日本人をランダムに選んだ場合の遺伝子の組み合わせは、この大量にあるカードの中から、2枚をランダムに引いた組み合わせと考えて良いです*8。
遺伝子や、その組み合わせの割合（現れる確率）を、P(A)、P(O)、P(BO)、P(AB)という風に書きます。そうすると、下の6つの式が成り立ちます。*9
日本人の血液型の分布から、P(AA)+P(AO)はA型の割合なので38.2%、P(O)はO型の割合なので30.5%、etc.と分かるので、それを元に、P(A)、P(B)、P(O)を求めればいいわけです*10。
その結果、遺伝子の分布は、
| A | 27.6% |
| B | 17.1% |
| O | 55.2% |
と出てきます。アメリカインディアンの血液型がO型しか無い、というのは知っている人も多いと思いますが、日本人の血液型も、遺伝子レベルで見れば半分以上O型なんですね。
遺伝型の分布はというと、
| AA | 7.6% |
| AO | 30.5% |
| BB | 2.9% |
| BO | 18.9% |
| OO | 30.5% |
| AB | 9.5% |
本当に珍しいのは、AB型じゃなくてBB型なんです（笑）
AB型を産める親の組み合わせ
遺伝型の分布が分かったところで、親の組み合わせを考えます。
AB型の子供は、片方の親からAの遺伝子、もう片方の親からBの遺伝子を貰わないといけないので、それが可能な組み合わせの親にしか生まれません。これは9通りあります。
- AAとBB
- AAとBO
- AAとAB
- AOとBB
- AOとBO
- AOとAB
- ABとBB
- ABとBO
- ABとAB
この組み合わせのカップルが日本人で出来る確率は、遺伝型の分布から計算出来ます*12。あと大事なのが、それぞれの組み合わせから子どもが生まれた場合に、AB型になる確率。あわせて表にすると、
| 遺伝型の組み合わせ | 分布 | AB型の子どもが生まれる確率 |
|---|---|---|
| AAとBB | 0.4% | 1 |
| AAとBO | 2.9% | 1/2 |
| AAとAB | 1.4% | 1/2 |
| AOとBB | 1.8% | 1/2 |
| AOとBO | 11.6% | 1/4 |
| AOとAB | 5.8% | 1/4 |
| ABとBB | 0.6% | 1/2 |
| ABとBO | 3.6% | 1/4 |
| ABとAB | 0.9% | 1/2 |
4人兄弟がみんなAB型になる確率
上の表で面白いのは、1行目の母がAA、父がBBの場合（または逆）。母からはA遺伝子、父からはB遺伝子が毎回伝わるので、子供はみんなAB型になります。これがまず思い付いたので、実はAB型だけの兄弟というのはそんな珍しくないんじゃ、と僕は思ったんですね。ただ、BBが珍しい遺伝型なので、この組み合わせは日本人カップルの0.4%にしかなりません。
一方、AOとBOの親から子供が生まれた場合、A遺伝子が伝わる確率が2分の1、B遺伝子が伝わる確率も2分の1なので、子供がAB型になる確率はそれを掛け合わせた4分の1です。この組み合わせのカップルが4人子供を産んで、4人ともAB型になる確率は、4分の1の4乗。256分の1にしかならないんです。
4人兄弟を産んで、全員がAB型になる確率を含めて表にすると、
| 遺伝型の組み合わせ | 分布 | 4人兄弟が全員AB型の確率 | 2つの確率の積 |
|---|---|---|---|
| AAとBB | 0.4% | 1 | 0.45% |
| AAとBO | 2.9% | 1/16 | 0.18% |
| AAとAB | 1.4% | 1/16 | 0.09% |
| AOとBB | 1.8% | 1/16 | 0.11% |
| AOとBO | 11.6% | 1/256 | 0.05% |
| AOとAB | 5.8% | 1/256 | 0.02% |
| ABとBB | 0.6% | 1/16 | 0.03% |
| ABとBO | 3.6% | 1/256 | 0.01% |
| ABとAB | 0.9% | 1/16 | 0.06% |
一番右の列は、2列目と3列目を掛け合わせた数字を書きました。これはどういう意味でしょう。
2列目は、「4人兄弟の親が〇〇と××の遺伝型を持っている確率」。
3列目は、「4人兄弟の親が〇〇と××の遺伝型を持っていた場合、みんなAB型になる確率」。
これを掛け合わせると、「4人兄弟の親が〇〇と××の遺伝型を持っていて、みんなAB型になる確率」になる、というのが条件付き確率の考え方ですね。*15
日本人の4人兄弟のうち、全員AB型の兄弟の割合を求めたい場合は、この一番右の数字を全部足し合わせれば良いわけです。
足してみると、なんとピッタリ1.00%。日本人の4人兄弟のうち、100組に1つは、全員AB型なんです。珍しいには違いないですが、「4人ともAB型」と聞いて思った程では無いんじゃないでしょうか。
余談
この話をしていた人に、両親の血液型はAとBでしょう？、と聞いてみたら、アタリでした。最後の表から、A型とB型の組み合わせ（1、2、4、5行目）だけを足してみると分かりますが、AB型の4人兄弟のうち8割近くが、AとBの組み合わせの親から生まれているんです。
ま、これは外れてもおかしくなかったですが…
*1:この記事では、両親はみんな一緒だとします。半兄弟はややこしいので無し。
*2:日本人のどれくらいが4人以上の兄弟なのかは、ちょっと調べただけでは分かりませんでした。一番それっぽいのが「少子化だけど、「一人っ子」って少ないの？ - エキサイトニュース」で、この数字をそのまま使うと、3.5%の日本人が4人以上の兄弟という事になります（「兄弟の3.5%が4人以上」、とは違う事に注意）。大雑把に言ってそれくらい、という話でしかないです。
*4:血液型は遺伝だけで決まる一方、身長は環境にも左右されるので、むしろ逆？
*5:名前から想像できる通り、免疫に関わる物質です。あんまり詳しくは聞かないで（笑）
*6:「遺伝型」は、持っている遺伝子の組み合わせ。"AO"とか"BB"の事。「表現型」は、その遺伝型が実際にどういう風に体に反映されるか。A型、O型とかの事。
*7:2億5千万ちょっと（笑）
*8:実際には、地域差などあるはずなので、完全にランダムにはなりません。あと、血液型占いがどれくらい交際相手の選択に影響するのか…
*9:2が出てくるのは、「1枚目がA、2枚目がB」という場合と、「1枚目がB、2枚目がA」という場合を両方カウントするため。
*10:4つの数を指定して、6つの式を解こうとしているので、厳密に言うと、解はありません。ベストフィットを見つける、という話。
*11:AB型が0.1%ズレているのは、式をフィットで解いた際の誤差。
*12:遺伝型の分布の時に出した6つの式と、基本同じ。
*13:この表から、日本人の子供の9.45%がAB型だというのが検算出来ます。方法は、次の部分を読むと分かります。
*14:有効数字（笑）
*15:本当は、ベン図書いて説明するのが親切だよなぁ…
